6. 5 واگرایی و حلقه

در این بخش ، دو عمل مهم را در یک قسمت بردار بررسی می کنیم: واگرایی و حلقه. آنها به دلایل مختلف برای زمینه حساب مهم هستند ، از جمله استفاده از فرفری و واگرایی برای تهیه برخی از نسخه های بعدی با ابعاد بالاتر قضیه اساسی حساب. علاوه بر این ، فرفری و واگرایی در توضیحات ریاضی مکانیک سیالات ، الکترومغناطیسی و نظریه خاصیت ارتجاعی ، که مفاهیم مهمی در فیزیک و مهندسی هستند ، ظاهر می شود. ما همچنین می توانیم از سایر مفاهیمی که قبلاً کاوش کرده ایم ، فرفری و واگرایی را اعمال کنیم. به عنوان مثال ، در شرایط خاص ، اگر و فقط اگر حلقه آن صفر باشد ، یک میدان بردار محافظه کارانه است.

علاوه بر تعریف فر و واگرایی ، ما به برخی تفسیرهای جسمی از آنها نگاه می کنیم و رابطه آنها را با زمینه های وکتور محافظه کار و بدون منبع نشان می دهیم.

واگرایی

تعریف

div f = p x + q y + r z = ∂ p ∂ x + ∂ q ∂ y + ∂ r ∂ z. div f = p x + q y + r z = ∂ p ∂ x + ∂ q ∂ y + ∂ r ∂ z.

توجه داشته باشید که واگرایی یک میدان بردار یک میدان بردار نیست ، بلکه یک عملکرد مقیاس است. از نظر عملگر شیب ∇ = 〈∂ ∂ x ، ∂ ∂ y ، ∂ ∂ z〉 ، ∇ = 〈∂ ∂ x ، ∂ ∂ y ، ∂ ∂ z〉 ، واگرایی می تواند به صورت نمادین به عنوان محصول نقطه نوشته شود

توجه داشته باشید که این صرفاً نماد مفید است ، زیرا محصول نقطه ای از یک بردار از اپراتورها و یک بردار از توابع با توجه به تعریف فعلی ما از محصول DOT به طور معناداری تعریف نمی شود.

برای نشان دادن این نکته ، دو قسمت بردار را در شکل 6. 50 در نظر بگیرید. در هر نقطه خاص ، مقدار جریان در آن همان مقدار جریان است ، بنابراین در هر نقطه "خروج" میدان صفر است. بنابراین ، ما انتظار داریم واگرایی هر دو زمینه صفر باشد ، و این در واقع چنین است.

div (〈1 ، 2〉) = ∂ ∂ x (1) + ∂ ∂ y (2) = 0 و div (〈 - y ، x〉) = ∂ ∂ x ( - y) + ∂ ∂ y (x) =0div (〈1 ، 2〉) = ∂ ∂ x (1) + ∂ ∂ y (2) = 0 و div (〈 - y ، x〉) = ∂ ∂ x ( - y) + ∂ ∂ y (x) =0

در مقابل ، میدان بردار شعاعی R (x ، y) = 〈 - x ، - y r (x ، y) = 〈 - x ، - y〉 را در شکل 6. 51 در نظر بگیرید. در هر نقطه معین ، مایعات بیشتر از آن جریان می یابد ، و بنابراین "خروج" میدان منفی است. ما انتظار داریم واگرایی این زمینه منفی باشد ، و این در واقع به عنوان div (r) = ∂ ∂ x ( - x) + ∂ ∂ y ( - y) = −2. div (r) = ∂ ∂ x ( - x) + ∂ ∂ y ( - y) = −2.

برای به دست آوردن یک حس جهانی از آنچه واگرایی به ما می گوید ، فرض کنید که یک میدان بردار در 2 ℝ 2 ℝ 2 نشان دهنده سرعت یک سیال است. تصور کنید که یک دایره الاستیک (دایره ای با شکلی که توسط قسمت بردار قابل تغییر باشد) و رها کردن آن در یک مایع. اگر دایره مساحت دقیق خود را با جریان از طریق سیال حفظ کند ، واگرایی صفر است. این برای هر دو قسمت بردار در شکل 6. 50 رخ می دهد. از طرف دیگر ، اگر شکل دایره تحریف شود به گونه ای که منطقه آن کوچک شود یا گسترش یابد ، واگرایی صفر نیست. تصور کنید که چنین دایره الاستیک را در شکل 6. 51 به میدان بردار شعاعی رها کنید تا مرکز دایره در نقطه قرار بگیرد (3 ، 3). دایره به سمت منشأ جریان می یابد ، و همانطور که چنین کرد ، جلوی دایره آهسته تر از پشت حرکت می کند و باعث می شود دایره "خراشیده شود" و منطقه را از دست بدهد. اینگونه است که می توانید واگرایی منفی را ببینید.

مثال 6. 48

محاسبه واگرایی در یک نقطه

راه حل

واگرایی f است

∂ ∂ x (e x) + ∂ ∂ y (y z) - ∂ ∂ z (y z 2) = e x + z - 2 y z.∂ ∂ x (e x) + ∂ ∂ y (y z) - ∂ ∂ z (y z 2) = e x + z - 2 y z.

پاسگاه 6. 40

یک کاربرد برای واگرایی در فیزیک ، هنگام کار با زمینه های مغناطیسی اتفاق می افتد. میدان مغناطیسی یک میدان بردار است که تأثیر جریان های الکتریکی و مواد مغناطیسی را مدل می کند. فیزیکدانان از واگرایی در قانون گاوس برای مغناطیس استفاده می کنند ، که می گوید اگر B یک میدان مغناطیسی باشد ، پس · · b = 0 ؛∇ · b = 0 ؛به عبارت دیگر ، واگرایی یک میدان مغناطیسی صفر است.

مثال 6. 49

تعیین اینکه آیا یک میدان مغناطیسی است

آیا برای f (x ، y) = 〈x 2 y ، y - x y 2〉 f (x ، y) = 〈x 2 y ، y - x y 2〉 امکان پذیر است؟

راه حل

اگر F مغناطیسی بود ، واگرایی آن صفر خواهد بود. واگرایی f است

∂ ∂ x (x 2 y) + ∂ ∂ y (y - x y 2) = 2 x y + 1 - 2 x y = 1 ∂ ∂ x (x 2 y) + ∂ ∂ y (y - x y 2) = 2 x y +1 - 2 x y = 1

و بنابراین F نمی تواند یک میدان مغناطیسی را مدل کند (شکل 6. 52).

شکل 6. 52 واگرایی میدان بردار f (x ، y) = 〈x 2 y ، y - x y 2〉 f (x ، y) = 〈x 2 y ، y - x y 2〉 یکی است ، بنابراین نمی تواند یک مغناطیسی را مدل کندرشته.

برنامه دیگر برای واگرایی ، تشخیص اینکه آیا یک زمینه بدون منبع است یا خیر. به یاد بیاورید که یک فیلد بدون منبع یک فیلد بردار است که دارای عملکرد جریان است. به طور معادل ، یک میدان بدون منبع زمینه ای با شار است که در طول هر منحنی بسته صفر است. دو قضیه بعدی می گویند ، در شرایط خاص ، زمینه های بردار بدون منبع دقیقاً زمینه های بردار با واگرایی صفر هستند.

قضیه 6. 14

واگرایی از یک میدان بردار بدون منبع

اثبات

مکالمه واگرایی از یک میدان بردار بدون منبع در مناطق به سادگی متصل صادق است ، اما اثبات آن بسیار فنی است که در اینجا گنجانده شده است. بنابراین ، ما قضیه زیر را داریم ، که می تواند آزمایش کند که آیا یک قسمت بردار در ℝ 2 ℝ 2 بدون منبع است.

قضیه 6. 15

تست واگرایی برای زمینه های بردار بدون منبع

مثال 6. 50

تعیین اینکه آیا یک زمینه رایگان است

آیا زمینه f (x ، y) = 〈x 2 y ، 5 - x y 2〉 f (x ، y) = 〈x 2 y ، 5 - x y 2〉 منبع رایگان است؟

راه حل

∂ ∂ x (x 2 y) + ∂ ∂ y (5 - x y 2) = 2 x y - 2 x y = 0.∂ ∂ x (x 2 y) + ∂ ∂ y (5 - x y 2) = 2 x y - 2 x y = 0.

بنابراین ، F با استفاده از تست واگرایی برای زمینه های بردار بدون منبع منبع بدون منبع است.

پاسگاه 6. 41

به یاد بیاورید که شکل شار قضیه گرین می گوید

جایی که C یک منحنی بسته ساده است و D منطقه ای است که توسط C محصور شده است. از آنجا

بنابراین ، قضیه گرین می تواند از نظر واگرایی نوشته شود. اگر ما از واگرایی به عنوان مشتق انواع فکر کنیم ، قضیه گرین می گوید "مشتق" F در یک منطقه را می توان به یک انتگرال خط F در امتداد مرز منطقه ترجمه کرد. این شبیه به قضیه اساسی حساب است ، که در آن مشتق یک تابع f f در یک بخش خط [a ، b] [a ، b] را می توان به بیانیه ای در مورد f f در مرز [a ، b] ترجمه کرد.[A ، B]. با استفاده از واگرایی ، می بینیم که قضیه گرین یک آنالوگ با ابعاد بالاتر از قضیه اساسی حساب است.

We can use all of what we have leaed in the application of divergence. Let v be a vector field modeling the velocity of a fluid. Since the divergence of v at point P measures the “outflowing-ness” of the fluid at P , div v ( P )> 0 div v ( P )>0 به این معنی است که مایعات بیشتر از P جریان می یابد تا جریان.<0 div v ( P ) <0 implies the more fluid is flowing in to P than is flowing out, and div v ( P ) = 0 div v ( P ) = 0 implies the same amount of fluid is flowing in as flowing out.

مثال 6. 51

تعیین جریان یک سیال

راه حل

div (v) = ∂ ∂ x ( - x y) + ∂ ∂ y (y) = - y + 1. div (v) = ∂ ∂ x ( - x y) + ∂ ∂ y (y) = - y + 1.

پاسگاه 6. 42

دومین عمل در یک قسمت بردار که ما بررسی می کنیم ، حلقه است که میزان چرخش میدان را در حدود یک نقطه اندازه گیری می کند. فرض کنید F نشان دهنده میدان سرعت یک سیال است. سپس ، حلقه F در نقطه P یک بردار است که تمایل ذرات در نزدیکی P را برای چرخش در مورد محوری که در جهت این بردار قرار می گیرد ، اندازه گیری می کند. بزرگی بردار حلقه در P اندازه گیری می کند که سرعت ذرات به سرعت در اطراف این محور می چرخند. به عبارت دیگر ، حلقه در یک نقطه اندازه گیری "چرخش" فیلد بردار در آن نقطه است. از لحاظ بصری ، تصور کنید که یک چرخ دستی را درون یک مایع در P قرار دهید ، با محور دست و پا گیر با بردار حلقه ای تراز شده است (شکل 6. 54). CURL تمایل به چرخ دستی را برای چرخش اندازه گیری می کند.

شکل 6. 54 برای تجسم حلقه در یک نقطه ، تصور کنید که یک چرخ دستی کوچک را در یک نقطه بردار در یک نقطه قرار دهید.

زمینه های بردار را در شکل 6. 50 در نظر بگیرید. در قسمت (الف) ، قسمت بردار ثابت است و در هر نقطه چرخش وجود ندارد. بنابراین ، ما انتظار داریم که حلقه میدان صفر باشد ، و این در واقع اینگونه است. قسمت (ب) یک میدان چرخشی را نشان می دهد ، بنابراین این زمینه دارای چرخش است. به طور خاص ، اگر یک چرخ دستی را در هر نقطه ای در یک میدان قرار دهید تا محور چرخ عمود بر هواپیما باشد ، چرخ خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد. بنابراین ، ما انتظار داریم که حلقه این زمینه غیرزرو باشد ، و این در واقع اینگونه است (حلقه 2 K است). 2 k).

برای دیدن اینکه چه چیزی در سطح جهان اندازه گیری می کند ، تصور کنید که یک برگ را به داخل مایع رها کنید. با حرکت برگ به همراه جریان سیال ، حلقه تمایل به چرخش برگ را اندازه گیری می کند. اگر حلقه صفر باشد ، پس از حرکت از طریق مایع ، برگ نمی چرخد.

تعریف

curl f = (r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - p y) k = (∂ r ∂ y - ∂ q ∂ z) i + (∂ p ∂ z - ∂r ∂ x) j + (∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y) k. curl f = (r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - p y) k = (∂ r ∂ y - ∂ q ∂ z) i + (∂ p ∂ z - ∂r ∂ x) j + (∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y) k.

توجه داشته باشید که بر خلاف واگرایی ، حلقه یک میدان بردار یک میدان بردار است.

به یاد آوردن تعریف فرفری دشوار است. برای کمک به یادآوری ، ما از نماد ∇ × F ∇ × F استفاده می کنیم تا برای یک "تعیین کننده" بایستیم که به فرمول حلقه ای می دهد:

تعیین کننده این ماتریس است

(r y - q z) i - (r x - p z) j + (q x - p y) k = (r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - py) k = curl f.(r y - q z) i - (r x - p z) j + (q x - p y) k = (r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - py) k = curl f.

بنابراین ، این ماتریس راهی برای کمک به یادآوری فرمول برای حلقه است. با این وجود به خاطر داشته باشید که کلمه تعیین کننده بسیار سست استفاده می شود. یک عامل تعیین کننده واقعاً در یک ماتریس با مدخل هایی که سه بردار ، سه اپراتور و سه کارکرد هستند تعریف نشده است.

curl f = (q x - p y) k = (∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y) k. curl f = (q x - p y) k = (∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y) k.

مثال 6. 52

پیدا کردن حلقه یک میدان بردار سه بعدی

حلقه f (p ، q ، r) = 〈x 2 z ، e y + x z ، x y z〉 را پیدا کنید. f (p ، q ، r) = 〈x 2 z ، e y + x z ، x y z〉.

راه حل

curl f = ∇ × f = |i J k ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z p q r |= (r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - p y) k = (x z - x) i + (x 2 - y z) j + z k. curl f = ∇ × f = |i J k ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z p q r |= (r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - p y) k = (x z - x) i + (x 2 - y z) j + z k.

پاسگاه 6. 43

حلقه f = 〈sin x cos z ، sin y sin z ، cos x cos y〉 f = 〈sin x cos z ، sin y sin z ، cos x cos y〉 در نقطه (0 ، π 2 ، π 2).(0 ، π 2 ، π 2).

مثال 6. 53

پیدا کردن مجاری یک قسمت بردار دو بعدی

حلقه f = 〈p ، q〉 = 〈y ، 0〉 را پیدا کنید. f = 〈p ، q〉 = 〈y ، 0〉.

راه حل

توجه کنید که این قسمت بردار از بردارهایی تشکیل شده است که همه موازی هستند. در حقیقت ، هر وکتور موجود در این زمینه به موازات x-axis است. این واقعیت ممکن است ما را به این نتیجه برساند که این زمینه هیچ چرخش ندارد و حلقه صفر است. برای آزمایش این نظریه ، توجه داشته باشید که

بنابراین ، این قسمت بردار چرخش دارد. برای دیدن چرا ، تصور کنید که یک چرخ دستی را در هر نقطه در ربع اول قرار دهید (شکل 6. 55). بزرگی بزرگتر بردارها در بالای چرخ باعث چرخش چرخ می شود. چرخ در جهت جهت عقربه های ساعت (منفی) می چرخد و باعث می شود ضریب حلقه منفی باشد.

جایی که C یک منحنی بسته ساده است و D منطقه ای است که توسط C محصور شده است. بنابراین ، شکل گردش قضیه گرین می تواند از نظر حلقه نوشته شود. اگر ما از Curl به عنوان مشتق انواع فکر کنیم ، قضیه گرین می گوید که "مشتق" F در یک منطقه را می توان به یک انتگرال خط F در امتداد مرز منطقه ترجمه کرد. این شبیه به قضیه اساسی حساب است ، که در آن مشتق یک تابع f f در بخش خط [a ، b] [a ، b] می تواند به بیانیه ای در مورد f f در مرز [a ، b] ترجمه شود.[A ، B]. با استفاده از CURL ، می توانیم ببینیم شکل گردش قضیه گرین یک آنالوگ با ابعاد بالاتر از قضیه اساسی حساب است.

اکنون می توانیم از آنچه در مورد Curl آموخته ایم استفاده کنیم تا نشان دهیم که زمینه های گرانشی هیچ "چرخش" ندارند. فرض کنید یک شیء در مبدا با جرم m 1 m 1 در مبدا و یک شی با جرم m 2 وجود دارد. م 2به یاد بیاورید که نیروی گرانشی که Object 1 در Object 2 اعمال می کند توسط Field داده می شود

f (x ، y ، z) = - g m 1 m 2 〈x (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 ، y (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 ، z (x 2+ y 2 + z 2) 3 /2. f (x ، y ، z) = - g m 1 m 2 〈x (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 ، y (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 ، z (x 2+ y 2 + z 2) 3 /2.

مثال 6. 54

تعیین چرخش یک میدان گرانشی

نشان دهید که یک میدان گرانشی چرخش ندارد.

راه حل

curl f = - g m 1 m 2 [(r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - p y) k] = - g m 1 m 2 [(−3 y z (x 2 + y 2 + z 2) 5 /2 - (−3 y z (x 2 + y 2 + z 2) 5/2)) i + (−3 x z (x 2 + y 2 + z 2) 5 /2 - (−3 x z (x 2 + y 2 + z 2) 5/2)) j + (−3 x y (x 2 + y 2 + z 2) 5 /2 - (−3 x y (x 2 + y2 + Z 2) 5/2)) k] = 0. curl f = - g m 1 m 2 [(r y - q z) i + (p z - r x) j + (q x - p y)k] = - g m 1 m 2 [(−3 y z (x 2 + y 2 + z 2) 5 /2 - (−3 y z (x 2 + y 2 + z 2) 5 /2)) i + (−3 x z (x 2 + y 2 + z 2) 5 /2 - (−3 x z (x 2 + y 2 + z 2) 5/2)) j + (−3 x y (x 2 + y 2 + z2) 5 /2 - (−3 x y (x 2 + y 2 + z 2) 5 /2)) k] = 0.

از آنجا که حلقه میدان گرانشی صفر است ، این میدان چرخش ندارد.