5. 3 تست های واگرایی و انتگرال

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

5. 3 تست های واگرایی و انتگرال

این آزمایش به عنوان تست واگرایی شناخته می شود زیرا راهی برای اثبات واگرایی یک سری فراهم می کند.

قضیه 5. 8

تست واگرایی

مثال 5. 13

با استفاده از تست واگرایی

برای هر یک از سری های زیر ، تست واگرایی را اعمال کنید. اگر آزمون واگرایی ثابت کند که این سریال متفاوت است ، چنین بیان کنید. در غیر این صورت ، نشان دهید که آزمون واگرایی بی نتیجه است.

  1. ∑ n = 1 ∞ n 3 n - 1 ∑ n = 1 ∞ n 3 n - 1
  2. ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3
  3. ∑ n = 1 ∞ e 1 / n 2 ∑ n = 1 ∞ E 1 / n 2

راه حل

  1. از آنجا که n / (3 n - 1) → 1 /3 ≠ 0 ، n / (3 n - 1) → 1 /3 ≠ 0 ، با آزمایش واگرایی ، می توان نتیجه گرفت که

پاسگاه 5. 12

تست واگرایی در مورد سری ∑ n = 1 ∞ cos (1 / n 2) چه می گوید؟∑ n = 1 ∞ cos (1 / n 2)؟

تست انتگرال

برای نشان دادن نحوه کار تست انتگرال ، از سری هارمونیک به عنوان نمونه استفاده کنید. در شکل 5. 12 ، ما سری هارمونیک را با ترسیم دنباله ای از مستطیل ها با مناطق 1 ، 1/2 ، 1/3 ، 1/4 ،… 1 ، 1/2 ، 1/3 ، 1/4 به تصویر می کشیم ، همراه باتابع f (x) = 1 / x. f (x) = 1 / x. از نمودار ، ما آن را می بینیم

∑ n = 1 k 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k> ∫ 1 k + 1 1 x d x . ∑ n = 1 k 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k>∫ 1 K + 1 1 X D x.

S k = ∑ n = 1 k 1 n> ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln x | 1 k + 1 = ln ( k + 1 ) − ln ( 1 ) = ln ( k + 1 ) . S k = ∑ n = 1 k 1 n>∫ 1 k + 1 1 x d x = ln x |1 k + 1 = ln (k + 1) - ln (1) = ln (k + 1).

∑ n = 1 k 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 k 2<1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x . ∑ n = 1 k 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 k 2 <1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x . s k = ∑ n = 1 k 1 n 2<1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x = 1 − 1 x | 1 k = 1 − 1 k + 1 = 2 − 1 k <2 . S k = ∑ n = 1 k 1 n 2 <1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x = 1 − 1 x | 1 k = 1 − 1 k + 1 = 2 − 1 k <2 .

شکل 5. 13 تعداد مناطق مستطیل کمتر از مجموع مساحت مستطیل اول و ناحیه بین منحنی f (x) = 1 / x 2 f (x) = 1 / x 2 و x x - است. محور برای x ≥ 1. x ≥ 1. از آنجا که منطقه محدود شده توسط منحنی محدود است ، مجموع مناطق مستطیل نیز محدود است.

s k = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a kS k = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k> ∫ 1 k + 1 f ( x ) d x . S k = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k>∫ 1 K + 1 f (x) d x.

 

قضیه 5. 9

تست انتگرال

∑ n = 1 ∞ (1 e) n = 1 e + (1 e) 2 + (1 e) 3 + ⋯ ∑ n = 1 ∞ (1 e) n = 1 e + (1 e) 2 + (1 e) 3 +

یک سری هندسی با اصطلاح اولیه A = 1 / E A = 1 / E و نسبت R = 1 / E ، R = 1 / E است که به

1 / E 1 - (1 / e) = 1 / E (E - 1) / E = 1 E - 1. 1 / E 1 - (1 / e) = 1 / E (E - 1) / E = 1 E - 1.

با این حال ، انتگرال مرتبط ∫ 1 ∞ (1 / e) x d x ∫ 1 ∞ (1 / e) x d x رضایت می دهد

∫ 1 ∞ (1 e) x d x = ∫ 1 ∞ e - x d x = lim b → ∞ ∫ 1 b e - x d x = lim b → ∞ - e - x |1 b = lim b → ∞ [ - e - b + e −1] = 1 e.∫ 1 ∞ (1 e) x d x = ∫ 1 ∞ e - x d x = lim b → ∞ ∫ 1 b e - x d x = lim b → ∞ - e - x |1 b = lim b → ∞ [ - e - b + e −1] = 1 e.

مثال 5. 14

با استفاده از آزمون انتگرال

برای هر یک از سری های زیر ، از تست انتگرال استفاده کنید تا مشخص شود که آیا این سری همگرا می شود یا واگرایی می کند. فرض کنید که تمام شرایط برای آزمایش انتگرال برآورده می شود.

  1. ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3
  2. ∑ n = 1 ∞ 1 /2 n - 1 ∑ n = 1 ∞ 1 /2 n - 1

راه حل

∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 x 3 d x = lim b ∞ [ - 1 2 2 x 2 |1 b] = lim b → ∞ [ - 1 2 b 2 + 1 2] = 1 2.∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 x 3 d x = lim b ∞ [ - 1 2 2 x 2 |1 b] = lim b → ∞ [ - 1 2 b 2 + 1 2] = 1 2.

∫ 1 ∞ 1 2 x - 1 d x = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 2 x - 1 d x = lim b → ∞ 2 x - 1 |1 b = lim b → ∞ [2 b - 1 - 1] = ∞ ، ∫ 1 ∞ 1 2 x - 1 d x = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 2 x - 1 d x = lim b → ∞ 2 x - 1|1 b = lim b → ∞ [2 b - 1 - 1] = ∞ ،

پاسگاه 5. 13

از تست انتگرال استفاده کنید تا مشخص شود که آیا سری ∑ N = 1 ∞ N 3 N 2 + 1 ∑ N = 1 ∞ N 3 N 2 + 1 همگرا یا واگرایی می کند.

P-series

تعریف

برای هر شماره واقعی P ، P ، این سریال

به عنوان p-series نامیده می شود.

∫ 1 ∞ 1 x p d x = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 x p d x = lim b → ∞ 1 1 - p x 1 - p |1 b = lim b → ∞ 1 1 - p [b 1 - p - 1].∫ 1 ∞ 1 x p d x = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 x p d x = lim b → ∞ 1 1 - p x 1 - p |1 b = lim b → ∞ 1 1 - p [b 1 - p - 1].

نتیجه می گیریم که

مثال 5. 15

آزمایش همگرایی P-series

برای هر یک از سری های زیر ، تعیین کنید که آیا این همگرا می شود یا واگرایی می کند.

  1. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 4
  2. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 /3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 /3

راه حل

  1. This is a p -series with p = 4> 1 , p = 4>1 ، بنابراین این سریال همگرا می شود.
  2. از P = 2 /3<1 , p = 2 / 3 <1 , the series diverges.

پاسگاه 5. 14

آیا سری ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 /4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 /4 همگرا یا واگرایی؟

تخمین ارزش یک سری

قضیه 5. 10

برآورد باقیمانده از آزمون انتگرال

s n + ∫ n + 1 ∞ f (x) d x<∑ n = 1 ∞ a n به عبارت دیگر ، باقیمانده r n = ∑ n = 1 ∞ a n - s n = ∑ n = n + 1 ∞ a n r n = ∑ n = 1 ∞ a n - s n = ∑ n = n + 1 ∞ a n برآورد زیر را برآورده می کند:

 

این به عنوان برآورد باقیمانده شناخته می شود.

R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯> ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯>∫ n + 1 ∞ f (x) d x

r n = a n + 1 + a n + 2 + a n + 3 + ⋯<∫ N ∞ f ( x ) d x . R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ <∫ N ∞ f ( x ) d x .

نتیجه می گیریم که

s n + ∫ n + 1 ∞ f (x) d x<∑ n = 1 ∞ a n مثال 5. 16

تخمین ارزش یک سری

سری ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 را در نظر بگیرید.∑ n = 1 ∞ 1 / n 3.

  1. S 10 = ∑ n = 1 10 1 / n 3 s 10 = ∑ n = 1 10 1 / n 3 را محاسبه کنید و خطا را تخمین بزنید.
  2. کمترین مقدار n n لازم را به گونه ای تعیین کنید که s n s n ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 تا 0. 001 را تخمین بزند. 0. 001

راه حل

  1. با استفاده از یک ابزار محاسبه ، ما داریم

S 10 = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ + 1 10 3 ≈ 1. 19753. S 10 = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ + 1 10 3 ≈ 1. 19753.

∫ 10 ∞ 1 x 3 d x = lim b → ∞ ∫ 10 b 1 x 3 d x = lim b ∞ [ - 1 2 2 x 2] n b = lim b ∞ [ - 1 2 b 2 + 1 2 n 2]= 1 2 N 2.∫ 10 ∞ 1 x 3 d x = lim b → ∞ ∫ 10 b 1 x 3 d x = lim b ∞ [ - 1 2 2 x 2] n b = lim b ∞ [ - 1 2 b 2 + 1 2 n 2]= 1 2 N 2.

پاسگاه 5. 15

بخش 5. 3 تمرینات

برای هر یک از سری های زیر ، اگر آزمایش واگرایی اعمال شود ، یا بیان می کند که lim n → ∞ a n lim n → ∞ a n وجود ندارد یا lim n → ∞ a n را پیدا می کند. lim n → ∞ a n. اگر آزمایش واگرایی اعمال نمی شود ، دلیل آن را بیان کنید.

a n = n 5 n 2 - 3 a n = n 5 n 2 - 3

a n = n 3 n 2 + 2 n + 1 a n = n 3 n 2 + 2 n + 1

a n = (2 n + 1) (n - 1) (n + 1) 2 a n = (2 n + 1) (n - 1) (n + 1) 2

a n = (2 n + 1) 2 n (3 n 2 + 1) n a n = (2 n + 1) 2 n (3 n 2 + 1) n

a n = 2 n 3 n / 2 a n = 2 n 3 n / 2

a n = 2 n + 3 n 10 n / 2 a n = 2 n + 3 n 10 n / 2

a n = 1 - cos 2 (1 / n) sin 2 (2 / n) a n = 1 - cos 2 (1 / n) sin 2 (2 / n)

a n = (1 - 1 n) 2 n a n = (1 - 1 n) 2 n

a n = (ln n) 2 n a n = (ln n) 2 n

بیان کنید که آیا P-P -series داده شده همگرا می شود.

∑ n = 1 ∞ n π n 2 e ∑ n = 1 ∞ n π n 2 e

از آزمون انتگرال استفاده کنید تا مشخص شود که آیا مبالغ زیر همگرا می شود یا خیر.

∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n ∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n

∑ n = 1 ∞ 2 n 1 + n 4 ∑ n = 1 ∞ 2 n 1 + n 4

∑ n = 2 ∞ 1 n ln 2 n ∑ n = 2 ∞ 1 n ln 2 n

∑ n = 1 ∞ n 2 −2 ln n ∑ n = 1 ∞ n 2 −2 ln n

∑ n = 1 ∞ n 3 −2 ln n ∑ n = 1 ∞ n 3 −2 ln n

∑ n = 1 1000 1 n 2 ∑ n = 1 1000 1 n 2

∑ n = 1 1000 1 n 3 ∑ n = 1 1000 1 n 3

∑ n = 1 1000 1 1 + n 2 ∑ n = 1 1000 1 1 + n 2

∑ n = 1 100 n / 2 n ∑ n = 1 100 n / 2 n

چند تمرین بعدی در نظر گرفته شده است تا حس برنامه هایی را ارائه دهد که در آن مبالغ جزئی از سری هارمونیک بوجود می آید.

در برخی از کاربردهای احتمال ، مانند به اصطلاح برآوردگر واترسون برای پیش بینی میزان جهش در ژنتیک جمعیت ، مهم است که یک تخمین دقیق از تعداد H K = (1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 K) داشته باشید. وادH K = (1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 K). به یاد بیاورید که t k = h k - ln k t k = h k - ln k کاهش می یابد. محاسبه t = lim k → ∞ t k t = lim k → ∞ t k تا چهار مکان اعشاری.(اشاره: 1 K + 1<∫ k k + 1 1 x d x 1 k + 1 <∫ k k + 1 1 x d x .)

[t] از برآورد و ادغام باقیمانده توسط قطعات استفاده کنید تا تقریبی ∑ n = 1 ∞ n / e n ∑ n = 1 ∞ n / e n در یک خطای کوچکتر از 0. 0001 باشد. 0. 0001

[T] فرض کنید یک کامپیوتر می تواند یک میلیون اصطلاح در ثانیه از سری واگرا را جمع کند ∑ n = 1 n 1 n.∑ n = 1 n 1 n. از آزمون انتگرال استفاده کنید تا تقریباً چند ثانیه طول بکشد تا شرایط کافی را برای بیش از 100 مورد اضافه کنید. 100.

[T] یک رایانه سریع می تواند یک میلیون اصطلاح در ثانیه از سری واگرا را جمع کند ∑ n = 2 n 1 n ln n.∑ n = 2 n 1 n ln n. از آزمون انتگرال استفاده کنید تا تقریباً چند ثانیه طول بکشد تا شرایط کافی را برای بیش از 100 مورد اضافه کنید. 100.

Kinetic توسط OpenStax دسترسی به ابزارهای مطالعه نوآورانه را برای کمک به شما در به حداکثر رساندن پتانسیل یادگیری خود فراهم می کند.

ما به عنوان یک همکار آمازون از خریدهای واجد شرایط درآمد کسب می کنیم.

آیا می خواهید این کتاب را استناد ، به اشتراک بگذارید یا تغییر دهید؟این کتاب از مجوز Creative Commons Attribution-Noncommercial-Sharealike استفاده می کند و شما باید OpenStax را نسبت دهید.

 

کتاب آموزش بورس...
ما را در سایت کتاب آموزش بورس دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : محسن زنجانچی بازدید : <-PostHit-> تاريخ : دوشنبه 25 ارديبهشت 1402 ساعت: 10:40

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه