مثلث پاسکال: ساخت ، نماد ، الگوی ، خواص

مثلث پاسکال مجموعه ای از اعداد است که به شکل مثلث ترتیب داده می شود. این یک مثلث دو طرفه است که دارای تعداد متنوعی از تعداد بی پایان است. دو طرف مثلث ها فقط شماره "یک" را دارند که تمام راه را پایین می آورد ، در حالی که پایین مثلث بی نهایت است. در جبر ، مثلث پاسکال ضرایب یک بیان دوتایی را می دهد

ردیف اول مثلث فقط از تعداد "1" تشکیل شده است در حالی که ردیف های بعدی با اضافه کردن اعداد مجاور در مثلث تشکیل می شوند. به عنوان مثال ، اگر ردیف سوم 2 و 1 داشته باشد ، ردیف چهارم 3 در مرکز خواهد بود.

مثلث پاسکال: تاریخ

مثلث پاسکال به نام بلیز پاسکال ، ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم نامگذاری شده است. در سال 1653 ، رساله مثلث حسابی توسط پاسکال نوشته شده است ، که امروزه به عنوان مثلث پاسکال شناخته می شود. ریاضیدانان ابتدا مفهوم مثلث پاسکال را در چین و پارس معرفی کردند ، اما تمام خصوصیات آن توسط پاسکال ارائه شد. پاسکال همچنین قضایای قابل توجهی دیگر مانند پایه های حساب و احتمال ، قضایای موجود در هندسه و ماشین حساب پاسکالین را ارائه داده است.

مثلث پاسکال: تعریف

مثلث پاسکال را می توان به عنوان یک آرایه مثلثی از اعداد تعریف کرد که در آن اعداد در انتهای ردیف ها یکی قرار دارند و هر یک از آنها جمع شماره های مجاور است.

مثلث پاسکال: ساخت مثلث پاسکال

1. در بالای مثلث پاسکال ، شماره 1 در ردیف صفر قرار می گیرد.
2. برای ردیف اول ، باید شماره های مجاور را اضافه کنیم. تمام اعداد خارج از مثلث صفر هستند. تصویر زیر می تواند 0+1 = 1 و 0+1 = 1 را توضیح دهد.

1. روند دقیق برای همه ردیف های بعدی تکرار می شود.

1. از آنجا که این روند می تواند بارها تکرار شود ، مثلث پاسکال از این رو از نظر طبیعت بی نهایت می شود.

مثلث پاسکال: نماد مثلث پاسکال

بالاترین ردیف مثلث پاسکال به عنوان Zeroth Row شناخته شده است و ردیف بعدی به عنوان ردیف اول شناخته می شود. طبق این کنوانسیون ، هر ردیف ITH از عناصر I+1 در آن تشکیل شده است. به عنوان مثال ، ردیف چهارم 4+1 = 5 عنصر خواهد داشت.

مثلث پاسکال: الگوهای مثلث پاسکال

1. تقارن - هر دو طرف مثلث پاسکال یکسان هستند. اعداد در سمت راست و سمت چپ یکسان هستند.

1. افزودن ردیف ها - هر یک از ردیف های مثلث پاسکال اضافه می کند تا مساوی 2 n باشد.

بگذارید به ردیف های داده شده برای تأیید این موضوع نگاه کنیم:

1 + 2 + 1 = 4 = 2 2

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 4

1+ 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2 5

1. ردیف نهم مثلث پاسکال ضرایب یک بیان دوتایی گسترده را نشان می دهد.

مثلا. ردیف چهارم مثلث پاسکال حاوی ضرایب بیان دوتایی (x + y) 4 است

(x + y) 4 = 1x 4 + 4x 3 y + 4xy 3 + 6x 2 y 2 + 1y 4

1. هویت چوب هاکی - می توانید از هر عنصر در مثلث پاسکال ، یا در سمت چپ یا راست شروع کنید. جمع عناصر را در یک خط مستقیم اضافه کرده و در هر زمان متوقف شوید. عنصر بعدی به صورت مورب در جهت مخالف برابر با جمع همه اعداد خواهد بود.

به عنوان مثال ، اگر خط زرد را در این تصویر در نظر بگیریم:

1+6+21+56 = 84 ، که عنصر مورب بعدی در جهت مخالف است.

به همین ترتیب ، نگاه کردن به خط قرمز در شکل

1+12 = 13 ، که عنصر مورب بعدی در جهت مخالف است.

1. نمایندگان 11- هر خط مثلث پاسکال قدرت 11 است.

از ردیف 5 ، مقادیر فقط با این روش همپوشانی دارند.

رقم ردیف پنجم - 1 ، 5 ، 10 ، 10،5،1 است.

1. Sierpinski Gasket - اگر عناصر عجیب و غریب یا حتی مثلث پاسکال را رنگ می کنید ، همان الگوی واشر Sierpinski را دریافت می کنید.

1. دنباله فیبوناچی - اگر مقادیر مورب را در مثلث پاسکال اضافه کنید ، دنباله فیبوناچی را دریافت می کنید.

مثلث پاسکال: خواص مثلث پاسکال

1. مثلث پاسکال از نظر ماهیت برابر است.
2. هر دو طرف فقط از شماره 1 و پایین مثلث در Infinite تشکیل شده اند
3. مثلث پاسکال تقارن دارد.
4. مبلغ هر ردیف توسط دو نفر به قدرت n داده می شود.
5. هر سطر رقم هایی را که برابر با قدرت 11 است ، می دهد.
6. تمام اعدادی که در خارج از مثلث قرار دارند صفر محسوب می شوند.

مثلث پاسکال: فرمول یافتن یک عنصر در مثلث

n فرمول ، n ردیف است ، و k اصطلاح است.

در اینجا ، n غیر منفی و یک عدد صحیح و 0 ≤ k ≤ n است

این مفهوم را می توان به صورت زیر نوشت:

مثلث پاسکال: استفاده از مثلث پاسکال

1. مثلث پاسکال می تواند برای گسترش هرگونه بیان دوتایی استفاده شود.

ردیف چهارم مثلث پاسکال حاوی ضرایب بیان دوتایی (x+y) 4 است

(x + y) 4 = 1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4

1. احتمال - مثلث می تواند در شرایط مختلف احتمال استفاده شود. فرض کنید ، ما یک سکه را می ریزیم که فقط دو سر یا دم داشته باشیم.

اگر دو بار آن را پرتاب کنیم ، می توانیم HH یا TT را بدست آوریم ، اما می توانیم HT یا TH را نیز بدست آوریم. اکنون می توانیم استفاده از مثلث پاسکال را ببینیم.

پرتاب

نتایج

مثلث پاسکال

hhht ، hhth ، hthh ، thhh

hhtt ، htht ، htth ، thht ، thth ، tthh

httt ، thtt ، ttht ، ttth

مثلث پاسکال: سوالات متداول (سؤالات متداول)

سؤال: الگوی مورب ها در مثلث پاسکال چیست؟

پاسخ . هر مورب مثلث پاسکال الگوی خاصی در آن دارد.

• اولین مورب مثلث پاسکال همه اینها است
• مورب دوم شماره شمارش است.
• مورب سوم از اعداد مثلثی تشکیل شده است.
• مورب چهارم از اعداد چهار ضلعی تشکیل شده است.

سوال: کاربردهای مثلث پاسکال چیست؟

پاسخ . از مثلث پاسکال می توان برای یافتن گسترش یک بیان دوتایی استفاده کرد. مثلث برای یافتن احتمال در بعضی موارد استفاده می شود و همچنین به ما امکان می دهد تعداد ترکیبات ممکن را پیدا کنیم.

سؤال: اگر در مجموع 15 توپ داشته باشید ، چه تعداد ترکیب مختلف سه را می توانید داشته باشید؟

پاسخ . اگر به ردیف پانزدهم مثلث پاسکال برویم و سپس به مقدار سوم نگاه کنیم ، به یاد می آوریم که مقدار اول باید نادیده گرفته شود. ما تعداد ترکیبات را ممکن می گیریم.

1 15 105 455 1365.

بنابراین ، مقدار سوم در دنباله پانزدهم 455 است. بنابراین ، اگر در مجموع 15 توپ داشته باشیم ، می توان 455 ترکیب داشت.

سؤال: ضریب اصطلاح XY+Y6 از بیان دوتایی (x+y) 10 را پیدا کنید

پاسخ. برای یافتن ضریب بیان ، باید به دوره ششم خط 10 مثلث پاسکال نگاه کنیم.(به یاد آوردن ما باید مقدار اول را نادیده بگیریم).

بنابراین خط دهم- 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

بنابراین ضریب 210 خواهد بود ، زیرا این مقدار ششم است.

CBSE CLASS XII سوالات مرتبط

کمیته 11 عضو از 8 مرد و 5 زن تشکیل می شود. بگذارید M تعداد روشهای انتخاب کمیته با 6 مرد را نشان دهد و N تعداد روش های انتخاب 3 زن را در آن زمان نشان می دهد