واگرایی به ما چه می گوید؟

واگرایی و CURL دو اندازه گیری از زمینه های بردار هستند که در انواع برنامه ها بسیار مفید هستند. هر دو به راحتی با فکر کردن در زمینه بردار به عنوان نمایانگر جریان مایع یا گاز قابل درک هستند. یعنی هر بردار در قسمت بردار باید به عنوان یک بردار سرعت تعبیر شود. تقریباً صحبت می کند ، واگرایی گرایش مایعات به جمع آوری یا پراکندگی در یک نقطه را اندازه گیری می کند و CURL گرایش مایع به چرخش در اطراف نقطه را اندازه گیری می کند. واگرایی یک مقیاس است ، یعنی یک عدد واحد ، در حالی که Curl خود یک بردار است. بزرگی حلقه اندازه گیری مایعات در حال چرخش است ، جهت نشانگر محور اطراف آن است که می چرخد. این ایده ها در عمل تا حدودی ظریف هستند و فراتر از محدوده این دوره هستند. شما می توانید اطلاعات اضافی را در وب پیدا کنید ، به عنوان مثال در http://mathinsight.org/curl_idea و http://mathinsight.org/divergence_idea و در بسیاری از کتاب ها از جمله DIV ، Grad ، Curl و همه اینها: یک متن غیررسمی رویحساب وکتور ، توسط H. M. Schey.

به یاد بیاورید که اگر $ f $ تابعی باشد ، شیب $ f $ توسط $ $ nabla f = Left langle داده می شود<partial foverpartial x>,<partial foverpartial y>,<partial foverpartial z> RIGHT RANGLE. $ $ یک mnemonic مفید برای این (و برای واگرایی و حلقه ، همانطور که معلوم است) این است که اجازه دهید $ $ nabla = Left langle<partial overpartial x>,<partial overpartial y>,<partial overpartial z> RIGHT RANGLE ، $ $ ، ما وانمود می کنیم که $ nabla $ یک وکتور با ورودی های نسبتاً عجیب و غریب است. با یادآوری اینکه $ langle u ، v ، w rangle a = langle ua ، va ، wa rangle $ ، ما می توانیم از گرادیان به عنوان $ $ nabla f = Left Langle فکر کنیم<partial overpartial x>,<partial overpartial y>,<partial overpartial z> راست Rangle f = Left langle<partial foverpartial x>,<partial foverpartial y>,<partial foverpartial z> RIGHT RANGLE ، $ $ یعنی ، ما به سادگی $ f $ را در بردار ضرب می کنیم.

در اینجا دو واقعیت ساده اما مفید در مورد واگرایی و حلقه وجود دارد.

قضیه 16. 5. 1 $ nabla cdot ( nabla times) = 0 $.$ qed $

به قول ، این می گوید که واگرایی حلقه صفر است.

قضیه 16. 5. 2 $ nabla times ( nabla f) = $.$ qed $

یعنی حلقه یک شیب بردار صفر است. با یادآوری اینکه شیب ها زمینه های وکتور محافظه کارانه هستند ، این می گوید که حلقه یک میدان وکتور محافظه کار بردار صفر است. در شرایط مناسب ، همچنین صحیح است که اگر حلقه $ bf f $ $ bf 0 $ باشد ، $ bf f $ محافظه کار است.(توجه داشته باشید که این دقیقاً همان آزمایشی است که ما در بخش 16. 3 در مورد آن بحث کردیم.)

مثال 16. 5. 3 بگذارید $ = langle e^z ، 1 ، xe^z rangle $. سپس $ nabla times = langle 0 ، e^z-e^z ، 0 rangle = $. بنابراین ، $ bf f $ محافظه کار است ، و ما می توانیم با یافتن $ f $ مربوطه ، این موضوع را مستقیماً نمایش دهیم.

از آنجا که $ f_x = e^z $ ، $ f = xe^z+g (y ، z) $. از آنجا که $ f_y = 1 $ ، باید این باشد که $ g_y = 1 $ ، بنابراین $ g (y ، z) = y+h (z) $. بنابراین $ f = xe^z + y + h (z) $ و $ $ xe^z = f_z = xe^z + 0 + h '(z) ، $ $ بنابراین $ h' (z) = 0 $ ، یعنی.، $ h (z) = c $ ، و $ f = xe^z+y+c $.$ مربع $

ما می توانیم قضیه گرین را با استفاده از این ایده های جدید بازنویسی کنیم. این نسخه های بازنویسی به نوبه خود به برخی از قضیه های بعدی که خواهیم دید نزدیکتر است.

بعد ، فرض کنید که مرز $ partial d $ دارای فرم بردار $ (t) $ است ، به طوری که $ '(t) $ به مرز مماس است ، و $ =' (t)/| '(t) | $وکتور مماس واحد معمول است. نوشتن $ = langle x (t) ، y (t) rangle $ ما $ $ دریافت می کنیم =<langle x',y' angleover|'(t)|>$ $ و سپس $ $ =<langle y',-x' angleover|'(t)|>$ $ یک بردار واحد عمود بر $ bf t $ است ، یعنی یک واحد عادی در مرز. اکنون $ $ eqalign<int_<partial D> cdot ، ds & = int_<partial D> Langle P ، Q Rangle CDOT<langle y',-x' angleover|'(t)|>| '(t) | dt = int_<partial D>py ' ، dt - qx' ، dt cr & = int_<partial D>p ، dy - q ، dx = int_<partial D>- Q,dx+P,dy.cr>$ $ تاکنون ، ما فقط با استفاده از نماد جایگزین ، انتگرال اصلی را بازنویسی کرده ایم. آخرین انتگرال دقیقاً مانند سمت راست قضیه گرین (16. 4. 1) به جز این است که $ P $ و $ q $ مکان های معامله شده و q $ $ نشانه منفی به دست آورده است. سپس با استفاده از قضیه گرین $ $ int_ دریافت می کنیم<partial D>- q ، dx+p ، dy = dint p_x+q_y ، da = dint nabla cdot ، da. $ $ خلاصه کردن رشته طولانی از برابری ، $ $ eqalignno<int_<partial D>cdot,ds&=dint ablacdot,dA.& (16.5.2)cr>$ $ تقریباً صحبت می کند ، اولین انتگرال جریان را در مرز منطقه ، از داخل به خارج می افزاید ، و دوم خلاصه واگرایی (تمایل به گسترش) در هر نقطه از فضای داخلی است. این قضیه تقریباً می گوید که مجموع گسترش "میکروسکوپی" همان است که کل در سراسر مرز و خارج از منطقه گسترش یافته است.

تمرینات 16. 5

Sage می داند که چگونه واگرایی و حلقه را محاسبه کند.

EX 16. 5. 1 اجازه دهید $ = langle xy ، -xy rangle $ و بگذارید $ d $ با 0 $ le x le 1 $ ، 0 $ le le 1 $ داده شود.$ ds int_ را محاسبه کنید<partial D> cdot d $ و $ ds int_<partial D> cdot ، ds $.(پاسخ)

EX 16. 5. 2 اجازه دهید $ = langle ax^2 ، توسط^2 Rangle $ و بگذارید $ d $ با 0 $ le x le 1 $ ، 0 $ le le 1 $ داده شود.$ ds int_ را محاسبه کنید<partial D> cdot d $ و $ ds int_<partial D> cdot ، ds $.(پاسخ)

EX 16. 5. 3 اجازه دهید $ = langle ay^2 ، bx^2 rangle $ و اجازه دهید $ d $ با 0 $ le x le 1 $ ، $ 0 le le x $ داده شود.$ ds int_ را محاسبه کنید<partial D> cdot d $ و $ ds int_<partial D> cdot ، ds $.(پاسخ)

EX 16. 5. 4 اجازه دهید $ = langle sin x cos y ، cos x sin y rangle $ و بگذارید $ d $ با 0 $ le x le pi/2 $ ، $ 0 le داده شود. le x $.$ ds int_ را محاسبه کنید<partial D> cdot d $ و $ ds int_<partial D> cdot ، ds $.(پاسخ)

سابق 16. 5. 5 اجازه دهید $ = langle y ، -x rangle $ و بگذارید $ d $ توسط $ x^2+y^2 le 1 $ داده شود.$ ds int_ را محاسبه کنید<partial D> cdot d $ و $ ds int_<partial D> cdot ، ds $.(پاسخ)

EX 16. 5. 6 اجازه دهید $ = langle x ، y rangle $ و اجازه دهید $ d $ توسط $ x^2+y^2 le 1 $ داده شود.$ ds int_ را محاسبه کنید<partial D> cdot d $ و $ ds int_<partial D> cdot ، ds $.(پاسخ)

EX 16. 5. 7 اثبات قضیه 16. 5. 1.

سابق 16. 5. 8 اثبات قضیه 16. 5. 2.

EX 16. 5. 9 اگر $ nabla cdot = 0 $ ، $ bf f $ غیرقابل استفاده است. نشان دهید که هر قسمت بردار فرم $ (x ، y ، z) = langle f (y ، z) ، g (x ، z) ، h (x ، y) ragel $ غیرقابل استفاده است. یک مثال غیر منطقه بندی کنید.