شاخص جدید قدرت مبتنی بر ائتلاف های برنده حداقل بدون هیچ گونه مازاد

در این مقاله ما یک شاخص قدرت جدید را برای ارزیابی هر یک از اعضای در یک کمیته یا نهاد دموکراتیک و میزان تأثیرگذاری بر سیستم تصمیم گیری رای گیری پیشنهاد می کنیم. راه حل پیشنهادی مبتنی بر این مشاهدات است که سازمانهای دموکراتیک نه تنها تمایل به تشکیل ائتلاف هایی دارند که به خودی خود می توانند کنترل سازمان را تضمین کنند ، بلکه این کار را نیز به روشی بسیار کارآمد انجام می دهند که در صورت امکان از ورود اعضای قدرتمند جلوگیری می کندجایگزین شده توسط افراد ضعیف تر. پایه ریاضی اندازه گیری جدید بر اساس دو بدیهی متفاوت است. مقایسه با سایر اقدامات مشهور نیز انجام می شود.

معرفی

سازمان های بین المللی اقتصادی (مانند صندوق بین المللی پول یا بانک جهانی) ، نهادهای رأی دهی فدرال (مانند شورای وزیران اتحادیه اروپا یا کالج انتخابات ریاست جمهوری ایالات متحده) دارای سیستم های حاکمیتی هستند که برای تصمیم گیری های مختلف در تصمیم گیری طراحی شده اندایجاد به اعضای مختلف سازمان.

همه این سازمانها و بسیاری از نهادهای دموکراتیک دیگر می توانند به عنوان DSS تلقی شوند و مشترکاً رأی دهندگان باید تصمیماتی بگیرند که شامل انتخاب بین گزینه های دیگر باشد. در اینجا فرض می کنیم که آنها بر اساس برآوردهای فردی ، گزینه های باینری را داشته باشند. زمینه تصمیم خاص یا قابل تعریف شامل "شکستن وضع موجود است یا خیر."تصمیم گیری در سازمان های دموکراتیک به عنوان DSS در نظر گرفته می شود. در این مقاله ما در درجه اول نگران تعیین میزان تأثیرگذاری بازیکنان مختلف در سیستم های رأی گیری سازمان های دموکراتیک هستیم.

در بسیاری از موارد ، تصمیم تصمیم گیری این سازمان ها می تواند با یک بازی وزنی یا به طور کلی با یک بازی ساده مدل شود. یک بازی ساده یک جفت است که توسط مجموعه بازیکنان و مجموعه ائتلاف های برنده تشکیل شده است. ائتلاف برنده توسط مجموعه ای از بازیکنان تشکیل می شود که می توانند نتیجه رأی را اجرا کنند.

اقدامات مختلف انرژی برای تعیین کمیت میزان تأثیر بازیکنان مختلف در یک بازی ساده ارائه شده است. شاخص قدرت یک وکتور n است که عناصر آن توانایی مربوط به هر بازیکن را برای تعیین نتیجه یک بازی ساده اندازه گیری می کند. در میان آنها ، می توانیم شاخص Banzhaf [3] ، شاخص Shaple y-Shubik [18] ، شاخص جانستون [14] ، شاخص Deega n-Packel [5] یا شاخص خوب عمومی را ذکر کنیم [10].

برای دو شاخص آخر ، خانواده خاصی از برنده ائتلاف ها نقش تعیین کننده ای ایفا می کنند: مجموعه ائتلاف های حداقل برنده. شرایط مینیمال می گوید اگر بازیکنان بخواهند حداکثر قدرت را داشته باشند ، نباید بازیکنان مازاد را در نظر گرفت.

برای بازی های رأی دهی وزنه برداری براساس اصل اندازه ، شرایط محکمی ارائه می شود [16] ، این بدان معنی است که اگر و فقط اگر وزن آن حداقل در بین وزن ائتلاف حداقل برنده باشد ، ائتلاف تشکیل می شود. ائتلافی که اصل اندازه را برآورده می کند ، یک ائتلاف حداقل برنده است اما ، مکالمه لزوماً صحیح نیست. در این مقاله ، ما این تجزیه و تحلیل را یک قدم جلوتر انجام می دهیم و یک نوع متوسط از ائتلاف ها را در نظر می گیریم ، یعنی ائتلاف های برنده حداقل را تغییر دهید. با استفاده از این ائتلاف ها ، ما یک شاخص قدرت جدید را تعریف می کنیم و به این معنا ، شاخص قدرت پیشنهادی را می توان ترکیبی از شاخص های قبلاً توسعه یافته دانست. علاوه بر این ، ما با استفاده از خواص قدیمی و جدید ، دو ویژگی بدیهی از این شاخص را ارائه می دهیم.

ثبات در هسته شاخص قدرتی است که ما معرفی می کنیم. در واقع ، اگر "ائتلاف برنده حداقل برنده" برای تصویب یک تصمیم تشکیل شود ، همه رای دهندگان در آن تمایل به اختلال در ائتلاف ندارند. هیچ رأی دهنده ای در آن نمی تواند توسط یک رای دهنده ضعیف جایگزین شود زیرا ، در این حالت ، دیگر نمی تواند وضعیت برنده ائتلاف را حفظ کند. بنابراین ، هیچ کس در ائتلاف نمی تواند بازپرداخت بالاتری داشته باشد. شاخص قدرتی که ما پیشنهاد می کنیم یک رفتار بسیار مکرر در سازمان های دموکراتیک نشان می دهد. یعنی ائتلاف برنده که در نهایت تشکیل می شود ، نه تنها قادر به تصویب مسئله مورد نظر نیست بلکه حداقل تغییر می کند. هیچ رای دهنده مازاد در آن وجود ندارد و هیچ کس در ائتلاف نمی تواند بدون تغییر وضعیت برنده ائتلاف توسط یک رای دهنده ضعیف جایگزین شود.

مقاله بصورت زیر مرتب شده است. در بقیه این بخش تعاریف رسمی را ارائه می دهیم و برخی از شاخص های قدرت مرتبط را به یاد می آوریم. شاخص قدرت تغییر در بخش 2 معرفی شده است و با شاخص های خوب بنزف و عمومی مقایسه می شود. بخش 3 شامل مبانی ریاضی است که از شاخص قدرت پیشنهادی پشتیبانی می کند. دو بدیهی برای آن پیشنهاد شده است. سرانجام ، برخی اظهارات نتیجه گیری ارائه شده است.

In the sequel, N = n>یک مجموعه محدود از بازیکنان ثابت ، اما در غیر این صورت دلخواه را نشان می دهد. هر زیرمجموعه S ⊆ n یک ائتلاف است.

تعریف 1. 1

یک بازی ساده شامل مجموعه ای از بازیکنان N و مجموعه ای از ائتلاف های برنده ، W است که مجموعه ای از زیر مجموعه های N با خواص زیر است: 1.

اگر S ∈ W و S ⊂ T ، سپس t ∈ W (یکنواختی).

بنابراین یک بازی ساده یک جفت (N ، W) است که توسط یک مجموعه محدود N و یک زیر مجموعه از 2 N با سه مورد در تعریف 1. 1 تشکیل شده است. یک ائتلاف حداقل برنده ، S ، یک ائتلاف برنده است که حاوی هیچ ائتلاف برنده دیگری به عنوان یک زیر مجموعه مناسب نیست. مجموعه ائتلاف های حداقل برنده توسط W m مشخص شده است. یک ائتلاف غیر برنده یک ائتلاف از دست رفته است. اگر متعلق به هیچ ائتلاف حداقل برنده نباشد ، یک بازیکن تهی است. بگذارید D مجموعه بازیکنان تهی را نشان دهد. یک بازی ساده به عنوان رسمیت یک وضعیت رای گیری تعبیر می شود که در آن N مجموعه ای از رای دهندگان است. سپس یک ائتلاف برنده قدرت اجرای تصمیمی را دارد که به اتفاق آرا توسط اعضای آن اتخاذ شده است.

یکنواختی امکان کارایی خاصی را در توصیف (N ، W) فراهم می کند: ما باید فقط ائتلاف های برنده حداقل را لیست کنیم. کل مجموعه ائتلاف های برنده را می توان با بسته شدن با بهره برداری از عناصر جدید به ائتلاف های حداقل برنده بدست آورد. از این رو (N ، W M) اطلاعات کافی برای توصیف بازی است.

با کمال صحبت ، یک شاخص برق یک تابع G است که به یک بازی ساده (n ، w) یک بردار g (n ، w) ∈ R n اختصاص می دهد که در آن هر مؤلفه g i (n ، w) اندازه گیری برای بازیکن i th استبازی ساده (n ، w) مطابق با g. از آنجا که N در بقیه مقاله تغییر نمی کند ، ما به جای G (N ، W) از آخرت G (W) خواهیم نوشت.

شاخص بانزاف [3] هر ائتلاف برنده را بررسی می کند ، مهم نیست که چه نظمی ممکن است در آن شکل گرفته باشد ، و هر رای دهنده را در نظر می گیرد که قدرت را از محوری در آن بدست آورد. برای ترجمه این امر به یک تعریف رسمی ، یک بازی ساده (N ، W) را در نظر بگیرید.

نوسان برای یک بازیکن i ∊ n یک ائتلاف s ⊆ n است به گونه ای که i ∈ S ، S ∈ W و S ∖∉ wما توسط η i (w) تعداد نوسانات برای بازیکن i ∈ N نشان می دهیم.

تعریف 1. 2

بگذارید η i (w) تعداد نوسانات بازیکن i را بیان کند. سپس شاخص نسبی Banzhaf به هر بازیکن i ∈ N عدد واقعی اختصاص می یابد: β I (W) = η I (W) ∑ j = 1 n η j (w) به طوری که ∑ i = 1 n β i (w) =1

در عوض ، Holler [10] اعداد C I (W) = S ∈ W M را در نظر می گیرد: I ∈ S برای هر I ∈ N و یک شاخص قدرت نسبی جایگزین را پیشنهاد می کند.

تعریف 1. 3

بگذارید C I (W) تعیین کننده Player I ، یعنی تعداد ائتلاف ها به گونه ای باشد که S ∈ W M و I ∈ S در بازی ساده (N ، W). سپس شاخص خوب عمومی برای i ∈ N عدد واقعی است: H I (W) = C I (W) ∑ J = 1 N C J (W) به طوری که ∑ i = 1 n h i (w) = 1.

هولر [11] اشاره می کند:

‘اگرچه ما فقط ائتلاف های برنده حداقل را برای محاسبه شاخص خوب عمومی در نظر می گیریم ، اما ادعا نمی کنیم که هیچ ائتلاف دیگری تشکیل نمی شود. فقط فرض بر این است که این ائتلاف ها اهمیتی ندارند و بنابراین نباید هنگام اندازه گیری قدرت مورد توجه قرار گرفت. "

مخرج این دو شاخص قدرت نسبی نه تنها به N بلکه به کل W یا W M بستگی دارد. به نظر می رسد که این امر باعث می شود که شاخص های نسبی قدرت رسیدگی به ریاضیات را دشوار کند.

مفهوم متفاوتی توسط Riker [16] برای مجموعه محدودتر بازی های رأی دهندگان وزنه برداری ارائه شده است.

تعریف 1. 4

(N ، W) اگر یک عدد صحیح وزن وجود داشته باشد ، یک بازی رای گیری وزنی (به طور خلاصه ، بازی وزنی) نامیده می شود.₁، ... ، w_حرفبه گونه ای که هر ائتلاف ، S ∈ W اگر و فقط اگر جمع W باشد_من′ S ، I ∈ S ، حداقل برابر با برخی از سهمیه از پیش تعیین شده q است.

شماره W_منبه عنوان تعداد آرا که بازیکنی که من در اختیار دارم تعبیر می شود و Q کمترین تعداد آراء لازم برای تصویب یک تصمیم است. چنین نمایندگی برای (n ، w) توسط [q ؛حرف₁، ... ، w_حرف] و W (ها) مخفف ∑ است_{من ∈ S}حرف_منبشربرای N ≥ 4 بازی های ساده ای وجود دارد که وزن ندارند.

ریکر [16] ادعا کرد که "احزاب به دنبال افزایش آرا فقط تا اندازه حداقل ائتلاف هستند." این از "اصل اندازه" شناخته شده ناشی می شود (ریکر ، [17] ص 32) که دلالت بر این دارد ، با توجه به آن ، با توجه به اینبدن رأی چند عضو یا بازی وزنی [س ؛حرف₁، ... ، w_حرف] یک ائتلاف₀به شرطی که W (S (S) شکل خواهد گرفت₀) = b که در آن b = m i n s ∈ W (s). ایده اصلی این راه حل این است که بازپرداخت برای هر ائتلاف برنده یکسان است. اگر بازپرداخت ائتلاف بین اعضای ائتلاف برنده با توجه به وزن رأی گیری مربوطه تقسیم شود ، سهم هر یک از اعضا با به حداقل رساندن ائتلاف وزنه (های) رأی اعضای (ها) عضو حداکثر می شوند. از این رو ، برای یک بدن وزنی [50 ؛ 40،35،25] حداقل ائتلاف برنده S₀= با حداقل وزن برنده ائتلاف w (s₀) = 60 تشکیل می شود ، اگرچه ائتلاف های برنده حداقل هستند.

It is important to note that the coalitions in the set S ⊆ N : w ( S ) = B> can include null voters, so the appropriate set to search the coalitions that fulfill Riker's principle is S ⊆ N : w ( S ) = B , S ∩ D = ∅>که زیر مجموعه ای از مجموعه ائتلاف های برنده حداقل است.

در این مقاله ما یک اندازه گیری قدرت جدید برای بازی های ساده پیشنهاد می کنیم. این شامل عناصری از شاخص خوب عمومی و اصل ریکر است. بنابراین ، تا حدی ، می توان آن را به عنوان یک راه حل درهم آمیخته مشاهده کرد. ایده اساسی مفهوم مطلوبیت است که ما در بخش بعدی به یاد می آوریم و توسعه می دهیم.

قطعه قطعه

شاخص قدرت تغییر

تعریف 2. 1

بگذارید (n ، w) یک بازی ساده باشد ، من و j دو رای دهنده هستیم. گفته می شود بازیکنان من و j به همان اندازه مطلوب هستند ، که توسط i ∼ j مشخص شده است اگر: برای هر ائتلاف به گونه ای که من و j ∉ s ، s ∪∈ W ⇔ s ∪∈ W

تعریف 2. 2

(Isbell ، [13]) اجازه دهید (n ، w) یک بازی ساده باشد ، من و j دو رای دهنده هستیم. گفته می شود بازیکن من (کاملاً) مطلوب تر از J است که اگر دو شرط زیر برآورده شود ، توسط I ≻ J مشخص شده است: 1.

برای هر ائتلاف به گونه ای که من و j ∉ s ، s.∈ W ⇒ S ∪∈ W

یک ائتلاف وجود دارد به گونه ای که من و j ∉ t ، t ∪∈ W و t ∪∉ w

دو بدیهی برای شاخص قدرت تغییر

قبل از بیان بدیهیات ، تعریف یک بازی به عنوان یک عملکرد و نه به عنوان مجموعه ای از ائتلاف ها راحت است.

یک بازی تعاونی V (در n ، از این پس حذف شده) یک بازی ساده است اگر (a) v (s) = 0 یا 1 برای همه s ، (b) یکنواخت باشد ، یعنی v (s) ≤ v (t) هر زمان که s ⊂t ، و (c) v (n) = 1. یا خانواده برنده ائتلاف های w = w (v) =یا زیر خانواده ائتلاف های برنده حداقل w m = w m (v) =با ورود به بازی ، بازی را تعیین می کند. زیرمجموعه ائتلاف های برنده حداقل تغییر w s = w s (v) =

نتیجه

این مقاله (بخش 2) یک شاخص توان جدید، یعنی شاخص قدرت Shift را ارائه می کند. شاخص قدرت پیشنهادی یک شاخص نسبی است و از شاخص بنزاف و شاخص حسن عمومی ناشی می شود، زیرا بر اساس تعداد نوع خاصی از ائتلاف هایی است که یک بازیکن به آن تعلق دارد. برای شاخص قدرت Shift، عدد مربوطه، کاردینالیته مجموعه ائتلاف های برنده حداقل تغییر است، یعنی حداقل ائتلاف های برنده که در آن نمی توان هیچ بازیکنی را با بازیکن ضعیف تر جایگزین کرد.

سپاسگزاریها

نویسندگان مایلند از ویراستار اندرو وینستون برای نظارت بر فرآیند بررسی، سه داور ناشناس برای مطالعه دقیق نسخه قبلی این اثر و اشاره به نظرات مفیدی که به ما اجازه داده است تا ارائه مقاله را بهبود بخشیم، تشکر کنند. جودی اندرسون برای حمایت زبانی اش.

تحقیقات خوزه ماریا آلونسو-میجید تا حدی توسط Grants INCITE09-207-064-PR از Xunta de Galicia و ECO2008-03484-C02-02/ECON از اسپانیا تامین شد.

خوزه ام آ. آلونسو-میجید مدرک کارشناسی و دکترای خود را در رشته ریاضیات از دانشگاه سانتیاگو د کامپوستلا (اسپانیا) دریافت کرد. او از سال 1997 استاد گروه آمار و تحقیقات عملیات دانشگاه سانتیاگو د کامپوستلا است. تحقیقات او در تئوری بازی ها و کاربردها در زمینه های سیاست و اقتصاد متمرکز است. وی نویسنده چندین مقاله در مجلات بین المللی (Annals of Operations Research, Naval Research Logistics, European Joual of